martes, 6 de marzo de 2012

Teoremas de árbelos

Steiner inversión - GeoGebra Hoja Dinámica
Si construimos un conjunto de circunferencias tangentes entre sí y tangentes a dos rectas, las inversas de esas figuras son otro conjunto de circunferencias también tangentes a las inversas de las dos rectas que se transforman por regla general en circunferencias.





Steiner inversión




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Teorema 1 de árbelos - GeoGebra Hoja Dinámica

Siendo la circunferencia de autoinversión la de color rosa de la izquierda,
 las figuras inversas de las circunferencias cuyos centros son los puntos de 
un hexágono regular son las circunferencias de la derecha de distintos tamaños.
 La circunferencia del centro se transforma en la blanca mientras que la circunferencia
 tangente a las seis del hexágono regular se transforma en la circunferencia azul.
 En el momento en que el círculo azul de centro W se transforme en un punto tenemos
 la figura llamada árbelos, que sería la semicircunferencia exterior azul tangente a las
 seis circunferencias menos la semicircunferencia blanca y menos la semicircunferencia
 rosa.
Los centros de las circunferencias de distinto tamaño tangentes a las dos
 (la interior blanca y la exterior azul) definen los puntos de una elipse y las distancias
 de cada punto de la elipse a estas dos circunferencias son siempre iguales.







En la figura podemos observar todas las circunferencias rojas tangentes a ambas circunferencias,
 la interior de color negro y la exterior de color azul.
 Cuando la circunferencia negra cuyo centro es el foco
 de la elipse es tangente a la circunferencia azul se engendra la figura llamada árbelos.




1- Árbelos (figuran en color azul y verde) es la figura compuesta por un semicírculo a la que
 se le quitan dos semicírculos cuyos diámetros AC CB coinciden con el del primer
semicírculo AB. El área del árbelos es la misma que la del círculo cuyo diámetro definido
 por los puntos DC es la tangente a los dos semicírculos (de color blanco).

Los círculos amarillos inscritos en las regiones que separa la tangente a los semicírculos menores 
por P son iguales, por lo que se llaman círculos gemelos.
Existe una circunferencia ABC que es tangente a los tres semicírculos del árbelos.
Si tomamos los dos puntos de contacto BC con los dos semicírculos menores existe
 una circunferencia que pasa junto por estos puntos y por  P, intersección de la tangente
 con las circunferencias menores del árbelos.
El círculo mínimo en color azul que contiene a los dos círculos gemelos tiene el diámetro igual a
 a la tangente de diámetro CD y por tanto tiene el misma área que el árbelos: tanto la circunferencia
 de color violeta y verde como la circunferencia de color azul y verde tienen  la mismo área y también
 la misma área que el árbelos.
Un ejercicio de aplicación para el sistema diédrico puede ser el siguiente: dadas dos esferas
 definidas en planta y alzado por sus proyecciones construir un plano tangente a ambas que
 incida en sus puntos de mayor cota.
Construimos por cambio de plano la proyección de las dos figuras de manera que el plano
 tangente sea un plano de canto, de esta forma obtenemos rápidamente en su intersección
 con la línea de tierra la intersección de las trazas por donde bajamos una perpendicular y1.
 Para determinar los puntos de tangencia con precisión bastaría con construir  por el
procedimiento de tangentes exteriores los puntos de contacto con el plano, no obstante
 podemos aplicar este teorema de árbelos y obtener de forma inmediata los puntos BC
 en la intersección con las rectas AM AN.
En el dibujo podemos observar los círculos inscritos iguales en color amarillo en las regiones del
 árbelos que separa la tangente a los dos semicírculos menores.


En los siguientes ejercicios mover el punto C para diferenciar los distintos casos
particulares de los teoremas de árbelos.

Teorema 1 de árbelos




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T1- Cuando hacemos una tangente DC común a los dos círculos menores de la figura, ésta corta a la semicircunferencia mayor en un punto de intersección D por el que podemos hacer 2 rectas DF DE hasta los extremos del diámetro A B y donde cortan a los dos semicírculos menores E F  tenemos que por estos puntos pasa la tangente EF a estos dos semicírculos.

Teorema_2_de_árbelos-equivalencias - GeoGebra Hoja Dinámica






Teorema_2_de_árbelos-equivalencias




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T2- el área de la circunferencia violeta que define la tangente DC es igual al área del árbelos (en color verde).





Teorema_1_de_árbelos-construcción con compás - GeoGebra Hoja Dinámica






Teorema_1_de_árbelos-construcción con compás




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Teorema_3_de_árbelos-El cíırculo cuatrillizo de Bankoff. - GeoGebra Hoja Dinámica






Teorema_3_de_árbelos-El cíırculo cuatrillizo de Bankoff.




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Teorema_4_de_árbelos-El cíırculo trillizo de Bankoff - GeoGebra Hoja Dinámica






Teorema_4_de_árbelos-El cíırculo trillizo de Bankoff




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Teorema_5-El círculo cuatrillizo de Bankoff. - GeoGebra Hoja Dinámica






Teorema_5-El círculo cuatrillizo de Bankoff.




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Teorema_6- El cíırculo inscrito y trillizo. - GeoGebra Hoja Dinámica






Teorema_6- El cíırculo inscrito y trillizo.




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Teorema_Construcción con regla y compás - GeoGebra Hoja Dinámica






Teorema_Construcción con regla y compás




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cadenas de Steiner- generación - GeoGebra Hoja Dinámica






Cadenas de Steiner- generación

Mover el punto T1 para ver la generación de las circunferencias tangentes a la azul y a la negra.
Siendo T1 un punto de la elipse, la distancia de este punto a la circunferencia azul es igual a la
distancia a la circunferencia negra.


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