El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.
En el teorema de Pitágoras tenemos dos triángulos equivalentes ABC y BDE, cuyas áreas son iguales ya que ambos tienen la misma base BC , BD y la misma altura, que es el radio de la circunferencia, BT o BC, respectivamente. Pero como los triángulos que tienen la misma base y la misma altura son equivalentes también tenemos el triángulo BDE es equivalente al triángulo BDC y el triángulo ABC es equivalente al triángulo ABP, ya que estos dos tienen la misma base AB y la misma altura BP. Si los triángulos ABP y BDC son equivalentes, al duplicar el área de ambos tenemos que el cuadrado BDJC y el rectángulo ABNP también son equivalentes, y esto es una demostración euclidiana del teorema del cateto. Haciendo lo mismo con el otro cuadrado ECLU obtenemos su rectángulo equivalente VENP. De esta forma queda demostrado el teorema de Pitágoras de forma euclidiana y la equivalencia de áreas entre el cuadrado mayor ABVE y la suma de los dos menores BDJC y ECLU.
Según el ejercicio anterior quedaba demostrada la equivalencia entre los dos triángulos ABC y BDE. Tenemos también demostrado en el ejercicio anterior que el cuadrado de BC dividido entre dos es igual al rectángulo AB por BF dividido entre dos, con lo que el cuadrado de lado BC es equivalente al rectángulo AB por BF. De igual forma el cuadrado de lado CE es equivalente al rectángulo de lado AB por FE. En consecuencia la suma de las áreas de los rectángulos (que es el cuadrado mayor de la figura) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados medio y menor. De esta forma queda demostrado el teorema de Pitágoras mediante un procedimiento euclidiano.
Se trata de demostrar (figura de la derecha) que el área del cuadrado A es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados B C, que no es otra cosa que el teorema de Pitágoras. El procedimiento que vamos a seguir es mediante el corte de trozos de las figuras y desplazamiento de los mismos. En la figura de la izquierda, al cuadrado PS formado por los trozos verde y amarillo, se le quita el trozo amarillo S y se desplaza en dirección horizontal obteniendo de esta forma S’. De esta manera tenemos que P+S’=P+S, el área sigue siendo la misma.Hacemos lo mismo con el otro cuadrado FQ formado por los fragmentos morado y azul, desplazamos el fragmento azul Q y le quitamos el trozo rojo T y lo trasladamos a la parte superior obteniendo T’, tenemos por tanto que Q+F= Q’+F+T’, ambos elementos son equivalentes. Desplazamos hacia abajo ambas figuras obtenidas hasta que los vértices inferiores toquen a los vértices del cuadrado inferior, teniendo que P+S’ se transforma en R’+H y que Q’+F+T’ se transforma en I’+J.
Desplazamos a la parte inferior los dos triángulos R’ I’ y los sumamos a los dos trapecios H J, obteniendo el cuadrado mayor de la figura: J + H + R + I, de esta forma hemos visto que sumando las áreas de los dos cuadrados menores B C obtenemos un cuadrado mayor A con el mismo área, que era lo que se quería demostrar.
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los 2 catetos. Teorema de Pitágoras |
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