jueves, 8 de marzo de 2012

Teoremas de Monge

Teorema de reciprocidad polar
Si tenemos una circunferencia y una recta exterior de la que tomamos un punto E y desde el que hacemos las rectas tangentes tenemos que ambas Interceptan a la circunferencia en dos puntos de tangencia GF que unidos definen una cuerda, si desde el punto pasamos una perpendicular a la cuerda tenemos que ésta la corta en el punto H. Si desplazamos cualquier punto C por la recta exterior tenemos que todas las cuerdas que definen las distintas rectas tangentes a la circunferencia pasan siempre por H. Recíprocamente todas las cuerdas que pasan por H determinan tangentes en cuya intersección tenemos siempre un punto C que pasa por una recta ED.
Este teorema tiene su equivalente en el espacio: si construimos una esfera y una recta exterior por la que pasan distintos conos cuyos vértices C pertenecen a esta recta DE, los conos son tangentes a la esfera en circunferencias cuyas proyecciones son las cuerdas anteriores y que se cortan todas en una misma recta cuya proyección ortogonal es el punto H. esta recta, así como los conos y la recta exterior tienen por proyección ortogonal a todos los elementos de la configuración anterior.

Teorema de reciprocidad polar de Monge - GeoGebra Hoja Dinámica





Mover el punto C

Teorema de reciprocidad polar de Monge



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T Monge - GeoGebra Hoja Dinámica





T. de Monge de las cuerdas



Las cuerdas de intersección de tres circunferencias secantes inciden en un mismo punto.

T Monge




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Si a 3 circunferencias se le hacen las tangentes comunes 2 a 2, los 3 puntos de intersección de cada par de tangentes están alineados. El teorema es válido para las tengentes exteriores e interiores, indistintamente y combinadas.





Una aplicación la tenemos en el siguiente ejercicio generalizado el teorema anterior en el espacio.
Dadas 3 esferas determinar las trazas del plano que se apoya en ellas.
Hacemos los 3 conos tangentes a ambas -como cucuruchos que contienen bolas de helado-, y en los 3 vértices de los conos está la traza del plano. Hacemos una posible proyección en alzado con la LT perpendicular a la traza horizontal para facilitar el ejercicio y la traza vertical la pasamos tangente a los alzados de las esferas. En los puntos de tangencia se apoya el plano, detalle que se puede bajar a la planta.

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