Teorema de la ceviana

Si construimos una circunferencia de centro A y un punto exterior C desde el que trazamos las tangentes y a continuación hacemos una recta tangente a la circunferencia en un punto dado B, si unimos el punto de tangencia con el punto exterior C tenemos una recta CB que se llama ceviana.
Si construimos la circunferencia de centro D inscrita a las tres tangentes tenemos que la ceviana corta a esta circunferencia en el punto H diametralmente opuesto al punto de tangencia F. Esto es debido a que las dos circunferencia son homotéticas y la homotecia conserva los ángulos. Si tomamos el punto medio I de los dos puntos de tangencia FB y trazamos una recta paralela a la ceviana tenemos que esta recta DI pasa por el centro D de la circunferencia inscrita a las tres tangentes.

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T. de los triángulos semejantes en una inversión

Teorema de los triángulos semejantes en una inversión


Si construimos una circunferencia y un punto exterior C desde el que trazamos las tangentes, éstas interceptan a la circunferencia en dos puntos de tangencia DE que los unimos mediante una cuerda. Esta cuerda corta a la línea que une el centro de la circunferencia A y el punto exterior C en un punto I, este punto es el inverso del exterior C.
Al construir por el centro de la circunferencia una recta paralela a la cuerda DE tenemos en la intersección con la circunferencia el punto F. Al unir F con el exterior C obtenemos un segmento que corta a la circunferencia en el punto H del que construimos su simétrico H’ respecto a la línea AC.
Al unir el simétrico con F tenemos que corta a la línea AC en I. El triángulo AIF es semejante del triángulo AFC. Por tanto:
AF/AI=AC/AF, siendo el segmento AF el radio de la circunferencia tenemos que AI.AC=AF.AF, AI.AC es igual al radio de la circunferencia al cuadrado.

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Teorema de la circunferencia focal

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La c. focal (centro en F2 y radio EH) de la elipse inscrita en un polígono inscrito, contiene a los simétricos de su otro foco F1 tomando los lados del polígono como ejes de simetría.
Los puntos de tangencia del polígono  y de  la elipse unidos a los vértices NKO definen segmentos (en verde) que se cortan en un punto P.
Al moverse K sobre la circunferencia focal, manteniéndose siempre los lados del polígono NOK tangentes a la elipse y N O también incidentes sobre la circunferencia, P se mueve describiendo otra elipse proporcional (de igual excentricidad) cuyo eje mayor coincide con el de la elipse EFGH.

Teoremas de la c. focal Mover los puntos K  F1  F2  para observar los cambios de la elipse que describe P. This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teoremas de la c. focal-rastro Mover el punto K para ver la formación de la nueva elipse y los focos F1  F2 para ver que la elipse es proporcional a la original. This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teorema de las simetrías del ortocentro en un triángulo inscrito.

Los lados de un triángulo inscrito en una circunferencia son  ejes de simetría entre  el ortocentro y sus homólogos sobre la circunferencia.

Simétricos del ortocentro This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teorema del primer y segundo punto de Fermat

Al unir los puntos de tangencia JKL de 3 circunferencias exinscritas a un triángulo ABC, con los vértices opuestos CAB respectivamente, tenemos 3 líneas que se cortan en punto M.

1º punto de Fermat. This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Si sobre el triángulo anterior ABC que definen las 3 líneas hacemos triángulos equiláteros, al unir sus vértices P con A, O con B y N con C, tenemos tres rectas incidentes en un vértice Q. 2º punto de Fermat This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teorema del punto de Vecten

Si sobre los lados de un triángulo ABC construimos cuadrados de los que tomamos sus centros JKL y los alineamos con el vértice opuesto del lado del triángulo donde se apoyan (CAB respectivamente), las 3 líneas que se forman JC KA BL se cortan en un punto M.

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T. del triángulo equilátero inscrito

Si un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia sobre la que tomamos un punto E desde el que trazamos segmentos hasta los vértices,  la longitud de un segmento AE (azul) es la misma  que  la longitud de los otros dos segmentos (en rosa) sumados CE+EB.
AE=CE+EB.

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Teorema de Soddy

Existen únicamente 2 circunferencias tangentes a 3 circunferencias tangentes entre sí, se les llama circunferencias de Soddy.

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Teoremas de Mikami y Kobayashi

Al construir un cuadrilátero BCDE inscrito en una circunferencia (en rosa) y sus diagonales (en verde), determinamos los triángulos BCE, EDB, ECD y DBC en los que hacemos 4 circunferencias inscritas, los centros de éstas definen siempre un rectángulo.

Teorema de Y. Mikami y T. Kobayashi This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Al triangular el cuadrilátero de distintas formas, se tiene que la suma de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos es siempre el mismo.

En el dibujo se han hecho 2 triangulaciones distintas, las de los círculos rojos y las de los verdes, la otra es común a ambas. Observamos por un grupo de  traslaciones que la suma de los radios de las  verdes es igual que la suma de los radios de las rojas.

T. de Y. Mikami y T. Kobayashi 2 Al mover los puntos siempre queda un rectángulo por lo que queda demostrada la igualdad. This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teorema de los triángulos podales equivalentes

Si dibujamos un triángulo cualquiera abc inscrito en una circunferencia g y un punto N exterior o interior a la misma desde el que trazamos rectas perpendiculares a los lados del triángulo obtenemos tres puntos  IJH que unidos determinan un triángulo llamado podal.

Teorema: si construimos una circunferencia cualquiera t concéntrica a la anterior g que pase por N y a continuación trasladamos este punto a lo largo de toda la circunferencia, todos los triángulos definidos por la intersección de las perpendiculares a los lados del triángulo son equivalentes. Por ejemplo, el punto N al trasladarse a su nueva posición M define el nuevo triángulo AFG que tiene la misma área que el anterior IJH.

En la figura siguiente observamos un triángulo DEF inscrito en una circunferencia de radio 3 y un triángulo podal verde IJH cuyos vértices son las intersecciones de las perpendiculares por G (un punto cualquiera) con los lados de DEF o de sus prolongaciones.  Si hacemos una circunferencia concéntrica a la anterior que pase por G, al trasladar G a lo largo de toda la circunferencia permaneciendo ésta invariable en su diámetro, genera nuevos triángulos que tienen todos la misma área.

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Teorema de Von Aubel

Al construir cuadrados sobre los lados de un cuadrilátero y tomar sus puntos centrales opuestos y unirlos mediante segmentos obtenemos siempre dos rectas perpendiculares.

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Teorema de la bisectriz interior de un triángulo

El segmento correspondiente a la bisectriz interior de un triángulo elevado  al cuadrado es igual al producto de dos lados menos el producto de los dos segmentos de la base del triángulo que divide la bisectriz.
Si restamos al área del rectángulo mayor el área del rectángulo menor obtenemos el área del cuadrado.

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En la figura, el área del rectángulo de color rosa menos el área del rectángulo naranja es igual al área del cuadrado amarillo.