Steiner inversión - GeoGebra Hoja Dinámica
Si construimos un conjunto de circunferencias tangentes entre sí y tangentes a dos rectas, las inversas de esas figuras son otro conjunto de circunferencias también tangentes a las inversas de las dos rectas que se transforman por regla general en circunferencias.
Steiner inversión
Teorema 1 de árbelos - GeoGebra Hoja Dinámica
Siendo la circunferencia de autoinversión la de color rosa de la izquierda, las figuras inversas de las circunferencias cuyos centros son los puntos de un hexágono regular son las circunferencias de la derecha de distintos tamaños. La circunferencia del centro se transforma en la blanca mientras que la circunferencia tangente a las seis del hexágono regular se transforma en la circunferencia azul. En el momento en que el círculo azul de centro W se transforme en un punto tenemos la figura llamada árbelos, que sería la semicircunferencia exterior azul tangente a las seis circunferencias menos la semicircunferencia blanca y menos la semicircunferencia rosa. Los centros de las circunferencias de distinto tamaño tangentes a las dos (la interior blanca y la exterior azul) definen los puntos de una elipse y las distancias de cada punto de la elipse a estas dos circunferencias son siempre iguales.
En la figura podemos observar todas las circunferencias rojas tangentes a ambas circunferencias, la interior de color negro y la exterior de color azul. Cuando la circunferencia negra cuyo centro es el foco de la elipse es tangente a la circunferencia azul se engendra la figura llamada árbelos.
1- Árbelos (figuran en color azul y verde) es la figura compuesta por un semicírculo a la que
se le quitan dos semicírculos cuyos diámetros AC CB coinciden con el del primer
semicírculo AB. El área del árbelos es la misma que la del círculo cuyo diámetro definido
por los puntos DC es la tangente a los dos semicírculos (de color blanco).
Los círculos amarillos inscritos en las regiones que separa la tangente a los semicírculos menores
por P son iguales, por lo que se llaman círculos gemelos.
Existe una circunferencia ABC que es tangente a los tres semicírculos del árbelos.
Si tomamos los dos puntos de contacto BC con los dos semicírculos menores existe
una circunferencia que pasa junto por estos puntos y por P, intersección de la tangente
con las circunferencias menores del árbelos. El círculo mínimo en color azul que contiene a los dos círculos gemelos tiene el diámetro igual a
a la tangente de diámetro CD y por tanto tiene el misma área que el árbelos: tanto la circunferencia
de color violeta y verde como la circunferencia de color azul y verde tienen la mismo área y también
la misma área que el árbelos.
Un ejercicio de aplicación para el sistema diédrico puede ser el siguiente: dadas dos esferas
definidas en planta y alzado por sus proyecciones construir un plano tangente a ambas que
incida en sus puntos de mayor cota.
Construimos por cambio de plano la proyección de las dos figuras de manera que el plano
tangente sea un plano de canto, de esta forma obtenemos rápidamente en su intersección
con la línea de tierra la intersección de las trazas por donde bajamos una perpendicular y1.
Para determinar los puntos de tangencia con precisión bastaría con construir por el
procedimiento de tangentes exteriores los puntos de contacto con el plano, no obstante
podemos aplicar este teorema de árbelos y obtener de forma inmediata los puntos BC
en la intersección con las rectas AM AN.
En el dibujo podemos observar los círculos inscritos iguales en color amarillo en las regiones del
árbelos que separa la tangente a los dos semicírculos menores.
En los siguientes ejercicios mover el punto C para diferenciar los distintos casos
particulares de los teoremas de árbelos.
Teorema 1 de árbelos
T1- Cuando hacemos una tangente DC común a los dos círculos menores de la figura, ésta corta a la semicircunferencia mayor en un punto de intersección D por el que podemos hacer 2 rectas DF DE hasta los extremos del diámetro A B y donde cortan a los dos semicírculos menores E F tenemos que por estos puntos pasa la tangente EF a estos dos semicírculos.
Teorema_2_de_árbelos-equivalencias - GeoGebra Hoja Dinámica
Teorema_2_de_árbelos-equivalencias
T2- el área de la circunferencia violeta que define la tangente DC es igual al área del árbelos (en color verde).
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Teorema_1_de_árbelos-construcción con compás - GeoGebra Hoja Dinámica
Teorema_1_de_árbelos-construcción con compás
Teorema_3_de_árbelos-El cíırculo cuatrillizo de Bankoff. - GeoGebra Hoja Dinámica
Teorema_3_de_árbelos-El cíırculo cuatrillizo de Bankoff.
Teorema_4_de_árbelos-El cíırculo trillizo de Bankoff - GeoGebra Hoja Dinámica
Teorema_4_de_árbelos-El cíırculo trillizo de Bankoff
Teorema_5-El círculo cuatrillizo de Bankoff. - GeoGebra Hoja Dinámica
Teorema_5-El círculo cuatrillizo de Bankoff.
Teorema_6- El cíırculo inscrito y trillizo. - GeoGebra Hoja Dinámica
Teorema_6- El cíırculo inscrito y trillizo.
Teorema_Construcción con regla y compás - GeoGebra Hoja Dinámica
Teorema_Construcción con regla y compás
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cadenas de Steiner- generación - GeoGebra Hoja Dinámica
Cadenas de Steiner- generaciónMover el punto T1 para ver la generación de las circunferencias tangentes a la azul y a la negra.
Siendo T1 un punto de la elipse, la distancia de este punto a la circunferencia azul es igual a la
distancia a la circunferencia negra.
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