jueves, 26 de noviembre de 2015
sábado, 4 de enero de 2014
Las medianas de un paralelogramo inscrito en una elipse son sus ejes conjugados
medi paralelog es eje conjugaNéstor Martín Gulias, Creado con GeoGebra |
sábado, 9 de junio de 2012
Teorema de la ceviana
Si construimos una circunferencia de centro A y un punto exterior C desde el que trazamos las tangentes y a continuación hacemos una recta tangente a la circunferencia en un punto dado B, si unimos el punto de tangencia con el punto exterior C tenemos una recta CB que se llama ceviana.
Si construimos la circunferencia de centro D inscrita a las tres tangentes tenemos que la ceviana corta a esta circunferencia en el punto H diametralmente opuesto al punto de tangencia F. Esto es debido a que las dos circunferencia son homotéticas y la homotecia conserva los ángulos. Si tomamos el punto medio I de los dos puntos de tangencia FB y trazamos una recta paralela a la ceviana tenemos que esta recta DI pasa por el centro D de la circunferencia inscrita a las tres tangentes.
Teorema de la ceviana |
T. de los triángulos semejantes en una inversión
Teorema de los triángulos semejantes en una inversión
Si construimos una circunferencia y un punto exterior C desde el que trazamos las tangentes, éstas interceptan a la circunferencia en dos puntos de tangencia DE que los unimos mediante una cuerda. Esta cuerda corta a la línea que une el centro de la circunferencia A y el punto exterior C en un punto I, este punto es el inverso del exterior C.
Al construir por el centro de la circunferencia una recta paralela a la cuerda DE tenemos en la intersección con la circunferencia el punto F. Al unir F con el exterior C obtenemos un segmento que corta a la circunferencia en el punto H del que construimos su simétrico H’ respecto a la línea AC.
Al unir el simétrico con F tenemos que corta a la línea AC en I. El triángulo AIF es semejante del triángulo AFC. Por tanto:
AF/AI=AC/AF, siendo el segmento AF el radio de la circunferencia tenemos que AI.AC=AF.AF, AI.AC es igual al radio de la circunferencia al cuadrado.
Si construimos una circunferencia y un punto exterior C desde el que trazamos las tangentes, éstas interceptan a la circunferencia en dos puntos de tangencia DE que los unimos mediante una cuerda. Esta cuerda corta a la línea que une el centro de la circunferencia A y el punto exterior C en un punto I, este punto es el inverso del exterior C.
Al construir por el centro de la circunferencia una recta paralela a la cuerda DE tenemos en la intersección con la circunferencia el punto F. Al unir F con el exterior C obtenemos un segmento que corta a la circunferencia en el punto H del que construimos su simétrico H’ respecto a la línea AC.
Al unir el simétrico con F tenemos que corta a la línea AC en I. El triángulo AIF es semejante del triángulo AFC. Por tanto:
AF/AI=AC/AF, siendo el segmento AF el radio de la circunferencia tenemos que AI.AC=AF.AF, AI.AC es igual al radio de la circunferencia al cuadrado.
T. de los triángulos semejantes en una inversión |
viernes, 6 de abril de 2012
Teorema de la circunferencia focal
Los puntos de tangencia del polígono y de la elipse unidos a los vértices NKO definen segmentos (en verde) que se cortan en un punto P.
Al moverse K sobre la circunferencia focal, manteniéndose siempre los lados del polígono NOK tangentes a la elipse y N O también incidentes sobre la circunferencia, P se mueve describiendo otra elipse proporcional (de igual excentricidad) cuyo eje mayor coincide con el de la elipse EFGH.
Teoremas de la c. focalMover los puntos K F1 F2 para observar los cambios de la elipse que describe P. |
Teoremas de la c. focal-rastroMover el punto K para ver la formación de la nueva elipse y los focos F1 F2 para ver que la elipse es proporcional a la original. |
lunes, 2 de abril de 2012
Teorema de las simetrías del ortocentro en un triángulo inscrito.
Los lados de un triángulo inscrito en una circunferencia son ejes de simetría entre el ortocentro y sus homólogos sobre la circunferencia.
Simétricos del ortocentro |
Teorema del primer y segundo punto de Fermat
Al unir los puntos de tangencia JKL de 3 circunferencias exinscritas a un triángulo ABC, con los vértices opuestos CAB respectivamente, tenemos 3 líneas que se cortan en punto M.
1º punto de Fermat. Si sobre el triángulo anterior ABC que definen las 3 líneas hacemos triángulos equiláteros, al unir sus vértices P con A, O con B y N con C, tenemos tres rectas incidentes en un vértice Q.
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Teorema del punto de Vecten
Teorema del punto de Vecten |
domingo, 1 de abril de 2012
T. del triángulo equilátero inscrito
Si un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia sobre la que tomamos un punto E desde el que trazamos segmentos hasta los vértices, la longitud de un segmento AE (azul) es la misma que la longitud de los otros dos segmentos (en rosa) sumados CE+EB.
AE=CE+EB.
T. del triángulo equilátero inscrito - |
viernes, 30 de marzo de 2012
Teorema de Soddy
Existen únicamente 2 circunferencias tangentes a 3 circunferencias tangentes entre sí, se les llama circunferencias de Soddy.
http://tangencias-y-enlaces.blogspot.com/
http://tangencias-inversion.blogspot.com/
http://tangencias-potencia.blogspot.com/
Teorema de Soddy |
Teoremas de Mikami y Kobayashi
Al construir un cuadrilátero BCDE inscrito en una circunferencia (en rosa) y sus diagonales (en verde), determinamos los triángulos BCE, EDB, ECD y DBC en los que hacemos 4 circunferencias inscritas, los centros de éstas definen siempre un rectángulo.
Teorema de Y. Mikami y T. Kobayashi |
Al triangular el cuadrilátero de distintas formas, se tiene que la suma de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos es siempre el mismo.
En el dibujo se han hecho 2 triangulaciones distintas, las de los círculos rojos y las de los verdes, la otra es común a ambas. Observamos por un grupo de traslaciones que la suma de los radios de las verdes es igual que la suma de los radios de las rojas.
T. de Y. Mikami y T. Kobayashi 2Al mover los puntos siempre queda un rectángulo por lo que queda demostrada la igualdad. |
jueves, 22 de marzo de 2012
Teorema de los triángulos podales equivalentes
Si dibujamos un triángulo cualquiera abc inscrito en una circunferencia g y un punto N exterior o interior a la misma desde el que trazamos rectas perpendiculares a los lados del triángulo obtenemos tres puntos IJH que unidos determinan un triángulo llamado podal.
Teorema: si construimos una circunferencia cualquiera t concéntrica a la anterior g que pase por N y a continuación trasladamos este punto a lo largo de toda la circunferencia, todos los triángulos definidos por la intersección de las perpendiculares a los lados del triángulo son equivalentes. Por ejemplo, el punto N al trasladarse a su nueva posición M define el nuevo triángulo AFG que tiene la misma área que el anterior IJH.
En la figura siguiente observamos un triángulo DEF inscrito en una circunferencia de radio 3 y un triángulo podal verde IJH cuyos vértices son las intersecciones de las perpendiculares por G (un punto cualquiera) con los lados de DEF o de sus prolongaciones. Si hacemos una circunferencia concéntrica a la anterior que pase por G, al trasladar G a lo largo de toda la circunferencia permaneciendo ésta invariable en su diámetro, genera nuevos triángulos que tienen todos la misma área.
T. de los triángulos podales |
martes, 20 de marzo de 2012
Teorema de Von Aubel
Al construir cuadrados sobre los lados de un cuadrilátero y tomar sus puntos centrales opuestos y unirlos mediante segmentos obtenemos siempre dos rectas perpendiculares.
Teorema de Von Aubel |
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