Teorema de la bisectriz interior de un triángulo

El segmento correspondiente a la bisectriz interior de un triángulo elevado  al cuadrado es igual al producto de dos lados menos el producto de los dos segmentos de la base del triángulo que divide la bisectriz.
Si restamos al área del rectángulo mayor el área del rectángulo menor obtenemos el área del cuadrado.

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En la figura, el área del rectángulo de color rosa menos el área del rectángulo naranja es igual al área del cuadrado amarillo.

Teorema de De Gua

El teorema expresa la relación que existe entre los cuatro volúmenes prismáticos de la figura. 

La suma de los volúmenes de los tres prismas amarillos es igual al volumen del prisma rojo. Si tenemos una pirámide que es un triedro trirrectángulro rectángulo, que quiere decir que  el vértice superior es la esquina de un cubo, o sea que todas las caras tienen en ese vértice  90° y calculamos el área de cada cara aplicando luego el cuadrado de la misma, de esta forma obtenemos los prismas que aparecen dibujados y desplazados sobre cada cara. Si a continuación calculamos el área de la base de la pirámide y la multiplicamos por sí misma (elevamos su valor al cuadrado) obtenemos un volumen de la misma capacidad que la suma de los otros tres prismas amarillos. 

Para calcular el área al cuadrado de una figura, multiplicamos el número por sí mismo, esto en el espacio no es más que darle al prisma la misma altura que el valor del área.

Ejemplo: en las tres aristas de la pirámide que definen las tres caras ABC, miden  3,4 y 5 unidades. La intersección de los planos AB es de cuatro unidades, la de los planos BC es de tres unidades y la de los planos AC es de cinco unidades. 

El área de la primera B es 3 × 4 igual a 12 partido entre dos tiene por valor seis. 

El área de la cara C es 3 × 5 igual a 15/2 tenemos 7,5. 

El área de la cara A es 5 × 4  = 20 dividido entre 2 es 10. 

El área de la base es 13,86, resultado de coger un lado como base y multiplicarlo por la altura y partirlo por dos.

Esta última cara de área 13,86 multiplicada por sí misma (elevado al cuadrado) nos da un valor de 192,24, el prisma recto por tanto tiene una altura de 13,86. Éste valor es igual a las otras áreas al cuadrado sumadas: 6 al cuadrado mas 7,5 al cuadrado más 10 al cuadrado es 36 + 56, 25 + 100, respectivamente que es igual a 192 ,24. 

Teorema de Lambert

La circunferencia circunscrita a un triángulo determinado por  tres tangentes a la parábola incide en el foco de la misma.

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Teorema de Viviani

Si sumamos las distancias desde un punto a los lados de un triángulo equilátero tenemos que la longitud obtenida es igual a la altura del triángulo. El teorema es válido para todos los polígonos que tienen lados iguales y ángulos iguales.

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Teorema de la bisectriz

En un triángulo, la razón entre dos lados (AB es a  AC) es igual a la razón de las partes (BD es a CD)  en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz AD de ángulo BAC (entre AB y AC).

AB/AC= BD/CD

AB.CD=AC.BD, por tanto los dos rectángulos rosa y azul son equivalentes, que quiere decir que tienen la misma área.

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Demostración del teorema de la bisectriz

Según el teorema de la bisectriz, el segmento AB es al segmento AC como el segmento BD es al segmento DC. Pero si construimos las dos circunferencias del dibujo y colocamos los radios BD DC alineados con los segmentos AB AC, observamos que efectivamente el segmento BE es al segmento CF como el segmento AB es al segmento AC. Todo ello queda demostrado por ser los segmentos DC EF paralelos.

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Teorema de Casey

En cuatro circunferencias interiores tangentes a otra se tiene que el producto del las tangentes diagonales (segmentos en color verde) es igual a la suma de los productos de cada par de tangentes opuestas a cada par de circunferencias (segmentos en color rojo y segmentos en color azul). En síntesis: el área del rectángulo verde es igual a la suma de las áreas de los rectángulos rosa y azul.

Cuando las circunferencias se reducen a un punto tenemos el teorema de Ptolomeo.

Teorema de Steiner-Lehmus

Todo triángulo que tiene iguales 2 bisectrices es necesariamente isósceles.

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Teorema de Pick

Para todo polígono de una pieza y sin agujeros, el número de puntos en el interior, más el número de puntos en el borde partido por 2, menos 1, es igual al área del polígono. Se le llama números enteros aquellos que tienen coordenadas enteras que quiere decir que están dentro de la superficie de la figura si son interiores y que pertenecen a los lados del polígono si están en el borde del polígono.

Teorema de Pohlke

Dadas 3 líneas en el plano X'Y'Z' no coincidentes e incidentes en un punto, existe un triedro trirrectángulo XYZ en el espacio que puede transformarse en la tres líneas por proyección.


Para determinar el triedro que cumple esa condición se hace la pirámide de triedros trirrectángulos que se apoya sobre los tres ejes y su triángulo fundamental (intersección de la pirámide y el plano PC).



En la figura podemos observar el fundamento del sistema axonométrico, tres ejes cartesianos, X Y Z se proyectan sobre un plano mediante líneas paralelas y de forma ortogonal al mismo. Estos tres ejes son la esquina de un cubo (forman entre sí dos a dos 90°, lo que en geometría se llama un triedro trirrectángulo).
Para obtener la verdadera medida del cubo que se proyecta de forma ortogonal sobre el plano del cuadro, se abaten las caras, de manera que podamos trabajar sobre el papel, sobre el plano del cuadro PC.
Sobre la cara abatida (x) (y) se colocan las vistas de la pieza y se proyectan ortogonalmente sobre la traza de la cara abatida hasta que cortan a los ejes x’ y’, obteniendo así la dimensión reducida sobre los mismos de las aristas del cubo.




En el dibujo tenemos la representación en sistema diédrico del triedro al que se ha abatido una cara, el abatimiento lo observamos en el alzado mediante el giro de la cara xy. Sobre la cara abatida (x) (y) se coloca una de las caras de la figura y se proyecta mediante ortogonales a la charnela hasta que intercepta a los ejes xy.
Al proyectar la forma plana tenemos que los vértices de esta inciden sobre los ejes de la axonometría xy, con lo que tenemos ya la perspectiva de la cara de la figura con su reducción correspondiente y en perspectiva axonométrica.

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Dadas 3 líneas AB DB CB en el plano no coincidentes e incidentes en un punto B, determinar el triedro trirrectángulo del espacio que puede transformarse en la tres líneas por proyección.

Dados los tres ejes (en verde), construimos el triángulo cuyos ejes son las alturas y considerando éste como la base de la pirámide  cuyas aristas son los 3 ejes en el espacio, abatimos sus caras (en azul), obteniendo así la verdadera forma de las mismas:

Axonométrico-fundamento This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teorema de Brahmagupta

Si las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son perpendiculares, entonces toda recta perpendicular a un lado cualquiera del cuadrilátero incidente en la intersección de las diagonales, divide el lado opuesto en dos partes iguales.

En la figura siguiente: DG=GE=GC Teorema de Brahmagupta This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teorema de reciprocidad polar

Todas las polares de un punto B sobre una recta exterior a la circunferencia  pasan por el mismo punto I, la recíproca es cierta.

Mover el punto B para observar que todas las polares FH pasan por el punto I : Teorema de reciprocidad polar This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teorema de Chasles

Haciendo un único giro sobre un plano se puede transformar una figura en otra igual, sea cual sea la posición de ambas.
Para conseguir el centro de giro que transforma una figura en otra se une un punto con su transformado mediante un segmento, a continuación se hace lo mismo con otro par de puntos y en la intersección de las mediatrices de ambos segmentos tenemos el centro de giro.

http://giros-traslaciones-simetrias.blogspot.com/ Teorema de Chasles This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Teoremas de Apolonio

Teorema de la mediana


Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera AB BC, es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado ACJK más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente MNPO.
Si sumamos las áreas de los dos cuadrados azules obtenemos el mismo valor que si sumamos las áreas de los dos cuadrados marrones más el rectángulo marrón.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana) This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Los 4 cuadriláteros paralelogramos circunscritos a una elipse correspondientes a los diámetros conjugados tienen la misma área que los 4 rectángulos de los cuadrantes correspondientes a los ejes en los que se inscribe la elipse. En la siguiente figura podemos observar  el romboide de color verde que tiene la misma área que el rectángulo de color rojo. Teorema de Apolonio This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com El rectángulo amarillo y el romboide azul tienen la misma área, el primero corresponde al rectángulo de los ejes de la elipse que definen los cuatro cuadrantes en los que se inscribe en la elipse. El romboide azul corresponde a los cuatro cuadriláteros que definen los ejes conjugados de la elipse  La suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados en una elipse  es constante e igual a la suma de los cuadrados de los ejes.  La  diferencia de los cuadrados de dos diámetros conjugados en una  hipérbola  es constante e igual a la suma de los cuadrados de los ejes. La suma de los cuadrados azul claro y amarillo es igual a la suma de los cuadrados azul oscuro y naranja.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com La suma de áreas de los 2 cuadriláteros es invariable. Mover el punto amarillo para ver los distintos casos.

Teorema de D'Alembert

Tres circunferencias tomadas de dos en dos poseen seis centros de homotecia. Los tres centros exteriores están alineados así como dos interiores y uno exterior. 
(Un centro de homotecia se obtiene en la intersección de las 2 tangentes exteriores  a dos circunferencias o en la intersección de las 2 tangentes interiores a dos circunferencias, si  el centro queda entre las 2 circunferencias la homotecia es inversa, en caso contrario es directa).

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Teoremas de Poncelet

En 2 circunferencias exteriores (azules) las circunferencias que las cortan ortogonalmente pasan por dos puntos invariables MN llamados límites.

Teorema de Poncelet2 This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Si desde un punto exterior D de una elipse trazamos las tangentes, éstas forman el mismo ángulo que las rectas que pasan por ese punto D y un foco A y por ese punto D y el simétrico del otro foco B’. Ángulo entre las tangentes desde un punto exterior de la elipse= ángulo entre DA y DB'=  ángulo entre DA' y DB Teorema de Poncelet This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com