Teorema de la ceviana

Si construimos una circunferencia de centro A y un punto exterior C desde el que trazamos las tangentes y a continuación hacemos una recta tangente a la circunferencia en un punto dado B, si unimos el punto de tangencia con el punto exterior C tenemos una recta CB que se llama ceviana.
Si construimos la circunferencia de centro D inscrita a las tres tangentes tenemos que la ceviana corta a esta circunferencia en el punto H diametralmente opuesto al punto de tangencia F. Esto es debido a que las dos circunferencia son homotéticas y la homotecia conserva los ángulos. Si tomamos el punto medio I de los dos puntos de tangencia FB y trazamos una recta paralela a la ceviana tenemos que esta recta DI pasa por el centro D de la circunferencia inscrita a las tres tangentes.

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T. de los triángulos semejantes en una inversión

Teorema de los triángulos semejantes en una inversión


Si construimos una circunferencia y un punto exterior C desde el que trazamos las tangentes, éstas interceptan a la circunferencia en dos puntos de tangencia DE que los unimos mediante una cuerda. Esta cuerda corta a la línea que une el centro de la circunferencia A y el punto exterior C en un punto I, este punto es el inverso del exterior C.
Al construir por el centro de la circunferencia una recta paralela a la cuerda DE tenemos en la intersección con la circunferencia el punto F. Al unir F con el exterior C obtenemos un segmento que corta a la circunferencia en el punto H del que construimos su simétrico H’ respecto a la línea AC.
Al unir el simétrico con F tenemos que corta a la línea AC en I. El triángulo AIF es semejante del triángulo AFC. Por tanto:
AF/AI=AC/AF, siendo el segmento AF el radio de la circunferencia tenemos que AI.AC=AF.AF, AI.AC es igual al radio de la circunferencia al cuadrado.

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